２進数と１６進数（と１０進数）

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更新日２００５．９．２５

コンピュータを扱う上で避けて通れないのが、２進数と１６進数です。
ここでは、２進数および、１６進数について１０進数と対比する形で説明します。

（１）なぜ２進数が必要か

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コンピュータは、膨大な数の論理回路が組み合わさってできています。

この論理回路は、入力信号がＯＮかＯＦＦかによって、ＯＮまたはＯＦＦが出力されます。

下の図は、論理回路の１つであるＡＮＤ回路です。
ＡＮＤ回路は、入力信号が全てＯＮの時、出力がＯＮになります。入力信号が１つでもＯＦＦであれば、出力はＯＦＦになります。

ＡＮＤ回路

この表は、２つの入力の組み合わせと
その時の出力を示しています。

左の表の、ＯＦＦを０，ＯＮを１に
置き換えた表です。

右の表のように、全ての論理回路は０と１の組み合わせで表現できます。
このように、０と１だけで表現できる数を２進数と呼びます。

（２）１０進数と２進数

１０進数

私たちが普段使用している数は１０進数です。

１０進数の１桁は、０～９の範囲になっています。１０になると桁上がりするため、１桁の最大値は９となります。
各桁は、１の位（１０⁰），１０の位（１０¹），１００の位（１０²），１０００の位（１０³）というように、１０ⁿで桁の重みが決まっています。

各桁の値と重みを掛け合わせた結果の合計と同じですので、以下の式と等価です。

（１×１０００）＋（９×１００）＋（５×１０）＋（４×１）＝１９５４

２進数

２進数も考え方は１０進数と同じです。以下の説明は、１０進数の説明の１０を２に置き換えただけですが、２進数の説明になります。

２進数の１桁は、０～１の範囲になっています。２になると桁上がりするため、１桁の最大値は１となります。
各桁は、１の位（２⁰），２の位（２¹），４の位（２²），８の位（２³）というように、２ⁿで桁の重みが決まっています。

各桁の値と重みを掛け合わせた結果の合計と同じですので、以下の式で１０進数に変換できます。

（１×８）＋（０×４）＋（１×２）＋（０×１）＝１０（１０進数）

４桁の２進数で表せる数を１０進数と対比させると、以下の表のようになります。

４桁の２進数で表せる数は、１０進数で０から１５までと言う事になります。

（３）２進数と１６進数

では、１０進数の「８９５４」を２進数で表して見ましょう。

１０００１０１１１１１０１０

　各桁は右から、２⁰，２¹，２²，２³，・・・となっています。
　１０進数で８９５４である事を検証してみて下さい。

ですが、少し桁数が多いですね。
１０進数では４桁で表せますが、２進数では１４桁も必要になってしまいます。
これでは、書くのも大変ですし、読むのも厄介で分かりづらいですね。

そこで、２進数の４桁分をまとめて１桁で表そうと言うのが、１６進数です。

ただし問題があります。
２進数の４桁は１０進数で「０～１５」まで表せる事を上で説明しました。
数字だけでは１桁で表現できません。
そこで、１０進数で２桁になる「１０～１５」は、１６進数では「Ａ～Ｆ」を使う事に決めました。

４桁の２進数で表せる数を１０進数と１６進数に対比すると、以下の表のようになります。

先ほどの、１０進数の８９５４を２進数と１６進数で表すと、以下のようになります。

１０進数の４桁を、２進数で表すと１４桁も必要になりますが、１６進数では４桁で表す事ができます。

１６進数の説明を、２進数の時と同じように記述すると次のようになります。

１６進数の１桁は、０～１５の範囲になっています。１６になると桁上がりするため、１桁の最大値は１５となります。
各桁は、１の位（１６⁰），１６の位（１６¹），２５６の位（１６²），４０９６の位（１６³）というように、１６ⁿで桁の重みが決まっています。

何となく分かって頂けましたか？

（４）おまけ（時計と６０進数）

時計の分秒を考えて見ます。
秒の桁は、０～５９の範囲になっています。６０になると桁上がりして１分になるため、秒の桁の最大値は５９となります。
分の桁も同様に、０～５９の範囲になっています。６０になると桁上がりして１時間になるため、分の桁の最大値は５９となります。

今までの説明と同じですね。
時計の分・秒は６０進数だと言えます。